Question

8．若對任意的x＞1，函數(shù)x+xlnx≥k（3x-e）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），則實數(shù)k的最大值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把不等式x+xlnx≥k（3x-e）化為$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k，
設(shè)f（x）=$\frac{x+xlnx}{3x-e}$，x＞1，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值即可．

解答 解：∵x＞1，∴3x＞3，∴3x-e＞0；
不等式x+xlnx≥k（3x-e）可化為$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k，
設(shè)f（x）=$\frac{x+xlnx}{3x-e}$，x＞1；
則f′（x）=$\frac{（2+lnx）（3x-e）-3（x+xlnx）}{{（3x-e）}^{2}}$=$\frac{3x-2e-elnx}{{（3x-e）}^{2}}$，
令g（x）=3x-2e-elnx，x＞1；
則g′（x）=3-$\frac{e}{x}$=$\frac{3x-e}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{e}{3}$＜1，
∴在x∈（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）是單調(diào)增函數(shù)；
又g（e）=0，∴x∈（1，e）時，g（x）＜0，則f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
x∈（e，+∞）時，g（x）＞0，則f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
∴f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值是f（x）_min=f（e）=$\frac{e+elne}{3e-e}$=1；
∴1≥k，即實數(shù)k的最大值為1．
故答案為：1．

點評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．