Question

10．如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=$\frac{{2{π}}}{3}$．管理部門欲在該地從M到D修建一條小路：在弧$\widehat{MN}$上選一點(diǎn)P（異于M、N兩點(diǎn)），過點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ．問：點(diǎn)P選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路$\widehat{MP}$與PQ及QD的總長(zhǎng)最�。坎⒄f明理由．

Answer 1

分析 連接BP，過P作PP₁⊥BC垂足為P₁，過Q作QQ₁⊥BC垂足為Q₁，設(shè)∠PBP₁=θ$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ，則總路徑長(zhǎng)f（θ）=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），求導(dǎo)，可得函數(shù)的最小值點(diǎn)．

解答 解：連接BP，過P作PP₁⊥BC垂足為P₁，
過Q作QQ₁⊥BC垂足為Q₁，
設(shè)∠PBP₁=θ$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ        …（2分）
若$0＜θ＜\frac{π}{2}$，在Rt△PBP₁中，PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
若$θ=\frac{π}{2}$，則PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
若$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，則PP₁=sinθ，BP₁=cos（π-θ）=-cosθ，
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$        …（4分）
在Rt△QBQ₁中，QQ₁=PP₁=sinθ，CQ₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$            …（6分）
所以總路徑長(zhǎng)f（θ）=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），…（10分）
${f^'}（θ）=sinθ-\sqrt{3}cosθ-1=2sin（θ-\frac{π}{3}）-1$                …（12分）
令f'（θ）=0，$θ=\frac{π}{2}$當(dāng)$0＜θ＜\frac{π}{2}$ 時(shí)，f'（θ）＜0當(dāng)$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}$ 時(shí)，f'（θ）＞0                 …（14分）
所以當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，總路徑最短．
答：當(dāng)BP⊥BC時(shí)，總路徑最短．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，三角函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．