Question

14．若（x+$\frac{1}{x}$）（3x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)之和為64．
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ）求展開式中的常數(shù)項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=1，則$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$展開式中各項系數(shù)和為2ⁿ⁺¹=64，解出n即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^5}$，要求展開式的常數(shù)項，只需求${（3x-\frac{1}{x}）^5}$展開式中含$x和\frac{1}{x}$的項，利用通項公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）令x=1，則$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$展開式中各項系數(shù)和為2ⁿ⁺¹=64，
解得：n=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^5}$，
要求展開式的常數(shù)項，只需求${（3x-\frac{1}{x}）^5}$展開式中含$x和\frac{1}{x}$的項．
由通項公式得${T_{r+1}}=C_5^r{（3x）^{5-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}=C_5^r{3^{5-r}}{（-1）^r}{x^{5-2r}}$，
令5-2r=±1，得r=2或r=3．
所以該展開式中的常數(shù)項為$C_5^2{3^3}-C_5^3{3^2}=180$．

點評 本題主要考查二項展開式等基礎(chǔ)知識，考查運算化簡能力、推理計算能力、化歸轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．