【題目】已知函數(shù)的定義域為,若上為增函數(shù),則稱一階比增函數(shù);若上為增函數(shù),則稱二階比增函數(shù)”.我們把所有一階比增函數(shù)組成的集合記為,所有二階比增函數(shù)組成的集合記為.

(Ⅰ)已知函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)已知,的部分函數(shù)值由下表給出,











求證:;

(Ⅲ)定義集合

請問:是否存在常數(shù),使得,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說明理由.

【答案】I(Ⅱ)見解答(Ⅲ).

【解析】

試題(I)理解的意義,代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求解; (Ⅱ)通過表格得到,再運用為增函數(shù)建立不等式,導(dǎo)出,運用即可. (Ⅲ)判斷即運用反證法證明,如果使得則利用為增函數(shù)一定可以找到一個,使得,成立;同樣用反證法證明證明上無解;從而得到,成立,即存在常數(shù),使得,,有成立,選取一個符合條件的函數(shù)判斷的最小值是,由上面證明結(jié)果確定即是符合條件的所有函數(shù)的結(jié)果.

試題解析:(I)因為,

是增函數(shù),所以

不是增函數(shù),而

是增函數(shù)時,有,所以當不是增函數(shù)時,.

綜上得

(Ⅱ) 因為,且

所以,

所以

同理可證,

三式相加得

所以

因為所以

,所以

所以

(Ⅲ) 因為集合且存在常數(shù),使得任取

所以,存在常數(shù),使得成立

我們先證明成立

假設(shè)使得

因為是二階增函數(shù),即是增函數(shù).

所以當時,,所以

所以一定可以找到一個,使得

這與成立矛盾

成立

所以成立

下面我們證明上無解

假設(shè)存在,使得,

則因為是二階增函數(shù),即是增函數(shù)

一定存在,這與上面證明的結(jié)果矛盾

所以上無解

綜上,我們得到,成立

所以存在常數(shù),使得,,有成立

又令,則成立,

又有上是增函數(shù),所以

而任取常數(shù),總可以找到一個,使得時,有

所以的最小值為.

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