【題目】已知函數(shù)的定義域為
,若
在
上為增函數(shù),則稱
為“一階比增函數(shù)”;若
在
上為增函數(shù),則稱
為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為
,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數(shù),若
且
,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函數(shù)值由下表給出,
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù),使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,說明理由.
【答案】(I)(Ⅱ)見解答(Ⅲ)
.
【解析】
試題(I)理解且
的意義,代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求解; (Ⅱ)通過表格得到
,再運用
為增函數(shù)建立不等式,導(dǎo)出
,運用
即可. (Ⅲ)判斷
即運用反證法證明
,如果
使得
則利用
即
為增函數(shù)一定可以找到一個
,使得
,
對
成立;同樣用反證法證明證明
在
上無解;從而得到
,
對
成立,即存在常數(shù)
,使得
,
,有
成立,選取一個符合條件的函數(shù)
判斷
的最小值是
,由上面證明結(jié)果確定
即是符合條件的所有函數(shù)的結(jié)果.
試題解析:(I)因為且
,
即在
是增函數(shù),所以
而在
不是增函數(shù),而
當是增函數(shù)時,有
,所以當
不是增函數(shù)時,
.
綜上得
(Ⅱ) 因為,且
所以,
所以,
同理可證,
三式相加得
所以
因為所以
而,所以
所以
(Ⅲ) 因為集合且存在常數(shù)
,使得任取
所以,存在常數(shù)
,使得
對
成立
我們先證明對
成立
假設(shè)使得
,
記
因為是二階增函數(shù),即
是增函數(shù).
所以當時,
,所以
所以一定可以找到一個,使得
這與對
成立矛盾
對
成立
所以,
對
成立
下面我們證明在
上無解
假設(shè)存在,使得
,
則因為是二階增函數(shù),即
是增函數(shù)
一定存在,這與上面證明的結(jié)果矛盾
所以在
上無解
綜上,我們得到,
對
成立
所以存在常數(shù),使得
,
,有
成立
又令,則
對
成立,
又有在
上是增函數(shù),所以
,
而任取常數(shù),總可以找到一個
,使得
時,有
所以的最小值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】程大位是明代著名數(shù)學(xué)家,他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.卷八中第33問:“今有三角果一垛,底闊每面七個.問該若干?”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數(shù)S為( )
A.28B.56C.84D.120
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右焦點分別為
,
,若橢圓經(jīng)過點
,且△PF1F2的面積為2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)斜率為1的直線與以原點為圓心,半徑為
的圓交于A,B兩點,與橢圓C交于C,D兩點,且
(
),當
取得最小值時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差
,數(shù)列
的前
項和為
,滿足
,且
,
.若實數(shù)
,則稱
具有性質(zhì)
.
(1)請判斷、
是否具有性質(zhì)
,并說明理由;
(2)設(shè)為數(shù)列
的前
項和,
,且
恒成立.求證:對任意的
,實數(shù)
都不具有性質(zhì)
;
(3)設(shè)是數(shù)列
的前
項和,若對任意的
,
都具有性質(zhì)
,求所有滿足條件的
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,過
的焦點且垂直于
軸的直線被
截得的弦長為
,橢圓
的離心率為
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)經(jīng)過右焦點的直線
與
交于
,
兩點,線段
的垂直平分線與
軸相交于點
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
,
,上頂點為A,過
的直線
與y軸交于點M,滿足
(O為坐標原點),且直線l與直線
之間的距離為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在直線上是否存在點P,滿足
?存在,指出有幾個這樣的點(不必求出點的坐標);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項的和為
,記
.
(1)若是首項為
,公差為
的等差數(shù)列,其中
,
均為正數(shù).
①當,
,
成等差數(shù)列時,求
的值;
②求證:存在唯一的正整數(shù),使得
.
(2)設(shè)數(shù)列是公比為
的等比數(shù)列,若存在
,
(
,
,
)使得
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,
,平面
平面
.
(1)求證:平面
;
(2)求平面與平面
所成二面角的正弦值;
(3)若點在線段
上,且直線
與平面
所成角的正弦值為
,求線段
的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的極值;
(2)若,且當
(
為自然對數(shù)的底數(shù))時,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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