Question

如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60，且FA=FC．
（1）求證：AC⊥平面BDFE；
（2）求證：FC∥平面EAD；
（3）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AC與BD相交于點O，連結(jié)FO，由已知得AC⊥BD，AC⊥FO，由此能證明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，從而平面FBC∥平面EAD，由此能證明FC∥平面EAD．
（Ⅲ）由已知得△DBF為等邊三角形，從而FO⊥平面ABCD，由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD相交于點O，連結(jié)FO，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O為AC中點，
又FA=FC，∴AC⊥FO，
∵FO∩BD=0，∴AC⊥平面BDEF，
（Ⅱ）證明：∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF，∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
（Ⅲ）解：∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF為等邊三角形，
∵O為BD中點，∴FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD，
由OA，OB，OF兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
設(shè)AB=2，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，
則BD=2，∴OB=1，OA=OF=

3

，
∴O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），F(xiàn)（0，0，

3

），
∴

CF

=（

3

，0，

3

），

CB

=（

3

，1，0），
設(shè)平面BFC的法向量

n

=(x，y，z)，
則有

n • CF = 3 x+ 3 z=0 n • CB = 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)，
由題意知AFC的法向量為

m

=（0，1，0），
由二面角A-FC-B是銳角，
得|cos＜

n

，

m

＞|=|

- 3

5

|=

15

5

．
∴二面角A-FC-B的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．