Question

15．已知f（x）是定義域為（0，+∞）的單調函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有$f[{f（x）+{{log}_{\frac{1}{3}}}x}]=4$，且方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間[0，3]上有兩解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜a≤5
• B． a＜5
• C． 0＜a＜5
• D． a≥5

Answer 1

分析 由題意可得必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）+${log}_{\frac{1}{3}}x$=a，f（a）=4 ①，可得f（a）+${log}_{\frac{1}{3}}a$=a ②，由①②得a=${（\frac{1}{3}）}^{a-4}$，解得a=3．由題意，|${log}_{\frac{1}{3}}x$|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，數(shù)形結合可得a的范圍．

解答 解：∵f（x）是定義域為（0，+∞）的單調函數(shù)，對任意的x∈（0，+∞），都有$f[{f（x）+{{log}_{\frac{1}{3}}}x}]=4$，
∴必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）+${log}_{\frac{1}{3}}x$=a，f（a）=4  ①，∴f（a）+${log}_{\frac{1}{3}}a$=a ②，
由①②得：4+${log}_{\frac{1}{3}}a$=a，即 ${log}_{\frac{1}{3}}a$=a-4，∴a=${（\frac{1}{3}）}^{a-4}$，解得a=3．
故f（x）+${log}_{\frac{1}{3}}x$=a=3，∴f（x）=3-${log}_{\frac{1}{3}}x$，
由方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，
即有|${log}_{\frac{1}{3}}x$|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，
由g（x）=x³-6x²+9x-4+a，可得g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
當1＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞增．
g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a-4，g（3）=a-4，
分別作出y=|${log}_{\frac{1}{3}}x$|，和y=x³-6x²+9x-4的圖象，
可得兩圖象只有一個交點（1，0），將y=x³-6x²+9x-4的圖象向上平移，
至經(jīng)過點（3，1），有兩個交點，由g（3）=1，即a-4=1，解得a=5，
當0＜a≤5時，兩圖象有兩個交點，即方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解．
故選：A．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，屬于難題．