【題目】如圖1,在邊長為2的等邊中,分別為邊的中點(diǎn),將AED沿折起,使得 , ,得到如圖2的四棱錐A-BCDE,連結(jié),且與交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)由題意可得,,即可得, ,利用線面垂直的判定即可得證;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系后,表示出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面、平面的一個法向量為、,利用即可得解.
(1)證明:由題意,,
因為、分別為、的中點(diǎn),
所以且相似比為2,所以,,
所以,,
所以,,
又因為,,所以,,
由可得平面,得證.
(2)如圖,過D作平面,DB為x軸,DC為y軸,Dz為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系;
所以,,,
由(1)知,則,
由可知,
所以,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
所以,即,取得,
同理可得平面的一個法向量,
所以,
由圖可知,所求二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析.
①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性,故平均成績?yōu)?30分;
②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計,估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間內(nèi);
③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);
④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進(jìn)步.
其中正確的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了政府對過熱的房地產(chǎn)市場進(jìn)行調(diào)控決策,統(tǒng)計部門對城市人和農(nóng)村人進(jìn)行了買房的心理預(yù)期調(diào)研,用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取110人進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表:
買房 | 不買房 | 糾結(jié) | |
城市人 | 5 | 15 | |
農(nóng)村人 | 20 | 10 |
已知樣本中城市人數(shù)與農(nóng)村人數(shù)之比是3:8.
分別求樣本中城市人中的不買房人數(shù)和農(nóng)村人中的糾結(jié)人數(shù);
用獨(dú)立性檢驗的思想方法說明在這三種買房的心理預(yù)期中哪一種與城鄉(xiāng)有關(guān)?
參考公式:.
k |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),分別在軸,軸上運(yùn)動,,點(diǎn)在線段上,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)直線與交于,兩點(diǎn),,若直線,的斜率之和為2,直線是否恒過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn),距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息,解決下面的問題:如圖,在長方體中,,點(diǎn)在棱上,,動點(diǎn)滿足.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動,則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________;若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動,為棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最小值為___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列時發(fā)現(xiàn)原來曾經(jīng)做過的一道數(shù)列問題因紙張被破壞,導(dǎo)致一個條件看不清,具體如下:等比數(shù)列的前n項和為,已知_____,
(1)判斷,,的關(guān)系;
(2)若,設(shè),記的前n項和為,證明:.
甲同學(xué)記得缺少的條件是首項a1的值,乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值,并且他倆都記得第(1)問的答案是,,成等差數(shù)列.如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的,請你通過推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù);
(2)設(shè),證明:當(dāng)時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動點(diǎn),設(shè)I,G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化時,橢圓C的離心率為_____.
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