Question

設(shè)任意正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+2y+z=1，不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

-m²+6m≥0對任意正數(shù)x，y，z恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值的最大值是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

-m²+6m≥0對任意正數(shù)x，y，z恒成立?不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

≥m²-6m對任意正數(shù)x，y，z恒成立，求出

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

的最小值，即可求得結(jié)論．

解答： 解：不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

-m²+6m≥0對任意正數(shù)x，y，z恒成立?不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

≥m²-6m對任意正數(shù)x，y，z恒成立．
∵x+2y+z=1，
∴

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

=[

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

][（x+y）+（y+z）]=

y+z

x+y

+

9(x+y)

y+z

+1≥7，當(dāng)且僅當(dāng)

y+z

x+y

=

9(x+y)

y+z

時取等號．
∴m²-6m≤7，
∴-1≤m≤7，
∴實(shí)數(shù)m的取值的最大值是7，
故選：B．

點(diǎn)評：正確等價轉(zhuǎn)化和熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．