Question

3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A₁-BD-A的余弦值大小是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 取BD的中點(diǎn)O，連接OA₁，OA，則∠AOA₁就是二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的余弦值．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，
則BD=A₁D=A₁B=$\sqrt{2}$a，AD=BA=AA₁=a，
取BD的中點(diǎn)O，連接OA₁，OA，則∠AOA₁就是二面角A₁-BD-A的平面角，
∵AO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，A₁0=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{\sqrt{2}}{2}a）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{2}$
∴cos∠AOA₁=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，正方體性質(zhì)的合理運(yùn)用．