Question

18．直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，將OP繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OQ，使∠POQ=α，其中Q是OQ與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
（Ⅰ）若P的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{5}$，求$\frac{y}{x}$；
（Ⅱ）求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義，求出sinα，轉(zhuǎn)化$\frac{y}{x}$為正切函數(shù)的形式，求解即可；
（Ⅱ）表示出x+y的三角函數(shù)的形式，然后求解取值范圍．

解答 解：直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，將OP繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OQ，使∠POQ=α，其中Q是OQ與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
（Ⅰ）若P的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{5}$，則sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$，
$\frac{y}{x}$=tan2α=$\frac{2tanα}{1-{tan}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{1-\frac{16}{9}}$=-$\frac{24}{7}$；
（Ⅱ）x+y=cos2α+sin2α=$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$），$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]
x+y的取值范圍（-1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的定義，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值．