Question

已知f（x）=

x

1+x

，數(shù)列{a_n}為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列{b_n}中b₁=

1

2

，且b_n+1=f（b_n）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_n（

1

bn

-1），{c_n}的前n項和為T_n，證明：對?n∈N₊有T_n＜4．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”可得T_n=4-

2+n

2n-1

．當(dāng)n=1，2，3時，T_n＜4；當(dāng)n≥4時，利用二項式定理可得：2^n-1=（1+1）^n-1=（n-1）+（n-1）+…＞2n-2≥n+2，可得

n+2

2n-1

≤1，即可證明T_n＜4．

解答： 解：（1）f（1）=

1

2

，∵數(shù)列{a_n}為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列，∴a_n=(

1

2

)n-1．
∵b_n+1=f（b_n）=

bn

1+bn

，∴

1

bn+1

=

1

bn

+1，即

1

bn+1

-

1

bn

=1．
∴數(shù)列{

1

bn

}是以

1

b1

=2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=

1

n+1

．
（2）c_n=a_n（

1

bn

-1）=

n

2n-1

，
∴T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
兩式錯位相減可得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

．
∴T_n=4-

2+n

2n-1

．
當(dāng)n=1時，T₁=1＜4；
當(dāng)n=2時，T₂=2＜4；
當(dāng)n=3時，T₃=

11

4

＜4．
當(dāng)n≥4時，
2^n-1=（1+1）^n-1=（n-1）+（n-1）+…＞2n-2≥n+2，
∴

n+2

2n-1

≤1，∴4-

n+2

2n-1

≤3＜4．
∴對?n∈N₊有T_n＜4．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、二項式定理，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．