Question

如圖，已知扇形AOB的面積為

π

12

，弧AB的長為

π

6

（1）求扇形AOB的半徑和圓心角
（2）在扇形AOB的弧AB上任取一點(diǎn)C，作CD∥OA，交OB于點(diǎn)D，求△OCD的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),扇形面積公式,兩角和與差的正切函數(shù),二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）設(shè)扇形AOB的半徑為R，圓心角為θ，弧AB的長為l，面積為S，由題意可得

l=θR= π 6 S= 1 2 lR= π 12

，解方程組可得；（2）作DE⊥OA于點(diǎn)E，CF⊥OA于點(diǎn)F，設(shè)∠AOC=α，則0＜α＜

π

6

，由三角形的知識可得CF=sinα，OF=cosα，CD=cosα-

3

sinα，可得S=

1

2

sin(2α+

π

3

)-

3

4

，由α的范圍可得．

解答： 解：（1）設(shè)扇形AOB的半徑為R，圓心角為θ，弧AB的長為l，面積為S
則

l=θR= π 6 S= 1 2 lR= π 12

，解得

R=1 θ= π 6

；
（2）作DE⊥OA于點(diǎn)E，CF⊥OA于點(diǎn)F，設(shè)∠AOC=α，則0＜α＜

π

6

，
在Rt△OCF中，CF=sinα，OF=cosα，在Rt△ODE中，
∴OE=

3

DE=

3

CF=

3

sinα，
∴EF=OF-OE=cosα-

3

sinα，
即CD=cosα-

3

sinα，
∴S△OCD=

1

2

CD•CF=

1

2

sinα•(cosα-

3

sinα)=

1

2

sinαcosα-

3

2

sin2α
=

1

4

sin2α-

3 (1-cos2α)

4

=

1

4

sin2α+

3

4

cos2α-

3

4

=

1

2

sin(2α+

π

3

)-

3

4

，0＜α＜

π

6

，
∵0＜α＜

π

6

，∴

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

，
∴當(dāng)2α+

π

3

=

π

2

，即α=

π

12

時(shí)，S_△OCD有最大值且為

1

2

-

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及兩角和與差的三角函數(shù)及扇形的面積公式，屬中檔題．