Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂且焦距為2

2

．點M為橢圓E上的一個動點，當(dāng)MF₂垂直于x軸時，恰好|MF₁|：|MF₂|=3：1．已知直線l與圓C：x²+y²=

4

3

相切，且與橢圓E相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）探究

OA

•

OB

是否為定值，若是，求出

OA

•

OB

的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把F₂（c，0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

，從而可得|MF₂|=

b2

a

，|MF₁|=

3b2

a

，由

b2

a

+

3b2

a

=2a及a²-b²=c²=

2

2=2，可求a²，b²；
（2））①若直線l的斜率不存在時，易證：

OA

•

OB

=0；②若直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為：y=kx+m，由直線與圓相切，得

|m|

m2+1

=

2

3

，整理得3m²=4k²+4，聯(lián)立y=kx+m與橢圓方程有（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積運算可求結(jié)果；

解答： 解：（1）把F₂（c，0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

，
則|MF₂|=

b2

a

，由|MF₁|：|MF₂|=3：1得|MF₁|=

3b2

a

，
又

b2

a

+

3b2

a

=2a，∴a²=2b²，
∵a²-b²=c²=

2

2=2，
∴b²=2，a²=4，
∴

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）①若直線l的斜率不存在時，易證：

OA

•

OB

=0，
②若直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為：y=kx+m，直線與圓相切，
則

|m|

m2+1

=

2

3

，從而3m²=4k²+4，
把直線方程：y=kx+m代入橢圓方程有（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△＞0，且x₁+x₂=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-4

2k2+1

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1

2k2+1

(3m2-4k2-4)=0．

點評：該題考查橢圓的方程、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想，考查學(xué)生運算求解能力．