Question

如圖，四面體P-ABC中，△PAB為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△PBC與△PAC均為斜邊為PC的直角三角形，且PC=

3

．E、D分別為AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PE與AC不垂直；
（2）求異面直線PB與AD所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）假設(shè)PE與AC垂直，證明AC⊥平面PAB，推出AC⊥AB，通過CA=CB，證明CE⊥AB，得到AC∥CE，推出矛盾，得到PE與AC不垂直．
（2）取BC的中點(diǎn)為F，聯(lián)結(jié)DF、AF，說明∠ADF為異面直線PB與AD所成角（或其補(bǔ)角，在△ABC中，求解異面直線PB與AD所成角的大小即可．

解答： 解：（1）假設(shè)PE與AC垂直，由已知可得：AC⊥PA，
又因?yàn)镻A與PE在平面PAB內(nèi)交于點(diǎn)P，∴AC⊥平面PAB-------------2’
AB

? ≠

平面PAB，∴AC⊥AB-------------------------------3’
又由已知可得：△PAC≌△PBC則可得：CA=CB--------------------4’
連結(jié)CE可得：CE⊥AB-----------------------------------5’
∴AC∥CE，顯然與AC與CE相交矛盾，
∴PE與AC不垂直------------6’
（2）取BC的中點(diǎn)為F，聯(lián)結(jié)DF、AF，
∵D、F分別為PC、BC的中點(diǎn)，
∴DF∥PB，
∴∠ADF為異面直線PB與AD所成角（或其補(bǔ)角）------------------------------8’
在△ABC中，AC=BC=

3-1

=

2

，AB=1，可得：cosB=

2

4

--------9’
∴AF=

1+ 1 2 -2•1• 2 2 • 2 4

=1------------10’
在△ADF中，AD=

3

2

，DF=

1

2

，
∵AD²+DF²=AF²，∴∠ADF=90°------11’
∴異面直線PB與AD所成角的大小為90°--------------------------------------------12’

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用反證法證明直線與直線不垂直，異面直線所成角是求法，考查空間想象能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力．