Question

橢圓C₁以雙曲線C₂：

x2

4

-

y2

16

=1的實軸為短軸、虛軸為長軸，且與拋物線C₃：y²=12x交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程及線段AB的長；
（Ⅱ）在C₁與C₃圖象的公共區(qū)域內(nèi)，是否存在一點P（x₀，y₀），使得C₁的弦EF與C₃的弦MN相互垂直平分于點P？若存在，求點P坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,轉(zhuǎn)化思想,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用雙曲線與橢圓的關(guān)系，直接求橢圓C₁的方程，聯(lián)立橢圓與拋物線方程求出交點坐標(biāo)，即可求出線段AB的長；
（Ⅱ）設(shè)出弦EF端點的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用平方差法求出EF的斜率，討論求出弦MN的斜率，利用相互垂直，推出關(guān)系式，說明點P不在區(qū)域內(nèi)即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁以雙曲線C2：

x2

4

-

y2

16

=1的實軸為短軸、虛軸為長軸，
∴橢圓C₁：

x2

4

+

y2

16

=1；
聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 16 =1 y2=12x

解得：

x=1 y=±2 3

，
∴A(1，2

3

)，B(1，-2

3

)，
∴|AB|=4

3

．
（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由題意將E，F(xiàn)坐標(biāo)帶入C₁，

x12

4

+

y12

16

=1，

x22

4

+

y22

16

=1
作差得：

x

2 1

-x

2 2

=

1

4

(

y

2 1

-

y

2 2

)，
kEF=

y1-y2

x1-x2

，
∵x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂）=2y₀，
∴kEF=-

16

4

x0

y0

=-4

x0

y0

，
同理將M，N坐標(biāo)帶入C₃得kMN=

6

y0

，
∵k_EF•k_MN=-1，∴

y

2 0

=24x0＞12x0，
故滿足條件的P點在拋物線C₃外，
∴不存在這樣的點P．

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓雙曲線以及拋物線的位置關(guān)系，直線的垂直體積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力；考查設(shè)而不求平方差法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．