Question

已知F是拋物線(xiàn)y²=4x上的焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足

FP

=2

FM

，則M的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)的軌跡問(wèn)題,拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意算出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)M（x，y）、P（

1

4

t²，t），可得向量

FP

=（

1

4

t²-1，t）、

FM

=（x-1，y），由

FP

=2

FM

建立關(guān)于x、y、t的方程組，再消去參數(shù)t即可得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（

1

4

t²，t）
∵拋物線(xiàn)y²=4x中，2p=4，可得

p

2

=1，∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（1，0）．
由此可得

FP

=（

1

4

t²-1，t），

FM

=（x-1，y）．
又∵動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足

FP

=2

FM

，∴（

1

4

t²-1，t）=2（x-1，y），
可得

1 4 t2-1=2x-2 t=2y

，消去參數(shù)t可得y²=2x-1，即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
故答案為：y²=2x-1

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的焦半徑PF的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．