Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）用關(guān)于m的代數(shù)式表示n．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知條件得f'（x）=3mx²+2nx，
又f'（2）=0，∴3m+n=0，故n=-3m．
（Ⅱ）∵n=-3m，∴f（x）=mx³-3mx²，∴f'（x）=3mx²-6mx．
令f'（x）＞0，即3mx²-6mx＞0，
當(dāng)m＞0時(shí)，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當(dāng)m＜0時(shí)，解得0＜x＜2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）．
綜上，當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）．
分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，又根據(jù)f'（2）=0可得到關(guān)于m的代數(shù)式．
（2）將（1）中m的代數(shù)式n代入函數(shù)f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx²-6mx，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)x的取值區(qū)間為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)增減區(qū)間的問題．