Question

18．如圖所示多面體中，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°
（Ⅰ）作出題中多面體的三視圖，并標出相應長度
（Ⅱ）求證：AC⊥平面BDE
（Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)∠DBE=60°計算DE，再作出三視圖即可；
（II）由DE⊥平面ABCD得出DE⊥AC，結(jié)合BD⊥AC得出AC⊥平面BDE；
（III）利用平行線等分線段成比例定理即可得出M為BD的三等分點，再給出證明即可．

解答 解：（Ⅰ）作出三視圖如圖所示：


（Ⅱ）證明：因為DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DE⊥AC．
因為底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩DE=D，BD，DE?平面BDE，
∴AC⊥平面BDE．
（Ⅲ）解：在BE上取得N，在BD上取點M，使得$\frac{BM}{BD}=\frac{BN}{BE}=\frac{1}{3}$，
連結(jié)MN，F(xiàn)N，AM，
則MN∥DE，$\frac{MN}{DE}$=$\frac{1}{3}$，又AF∥DE，AF=$\frac{1}{3}$DE，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$MN，
∴四邊形AMNF是平行四邊形，
∴AM∥FN，又FN?平面BEF，AM?平面BEF，
∴AM∥平面BEF．
∴當M為BD靠近B的三點分點時，AM∥平面BEF．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和三視圖，線面垂直、平行的判定，屬于中檔題．