Question

13．關(guān)于直線a，b，c以及平面α，β，給出下列命題：
①若a∥α，b∥α，則a∥b
②若a∥α，b⊥α，則a⊥b
③若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，則c⊥α
④若a⊥α，a∥β，則α⊥β
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 ①，若a∥α，b∥α，則a與b位置關(guān)系有相交、異面、平行
②，設(shè)β為過a的平面，且α∩β=l．由a∥α，得a∥l．由b⊥l，得b⊥a．
③，根據(jù)線面垂直的判定定理，可判斷；
④，由直線a∥平面α，各平面α中必存在一條直線b與直線a平行，由此根據(jù)直線a⊥平面β，利用平面與平面垂直的判定定理得α⊥β．

解答 解：對于①，若a∥α，b∥α，則a與b位置關(guān)系有相交、異面、平行，故錯(cuò)；
對于②，設(shè)β為過a的平面，且α∩β=l．∵a∥α，∴a∥l．∵直線b⊥平面α，l?α，∴b⊥l，∴b⊥a．故a⊥b．故正確；
對于③，若a?α，b?α，a∥b，c⊥a，c⊥b時(shí)，由于a、b不一定相交，故c⊥α不一定成立，故③錯(cuò)誤；
對于④，∵直線a∥平面α，∴平面α中必存在一條直線b與直線a平行，∵直線a⊥平面β，∴直線b⊥平面β，∴α⊥β．故正確；
故選：C

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間直線和平面的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面關(guān)系的判定定理，性質(zhì)定理和幾何特征是解答的關(guān)鍵．