5.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱軸;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,然后向左平移$\frac{π}{3}$個單位,得函數(shù)g(x)的圖象.若a,b,c分別是△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a+c=6,且g(B)=0,求b的取值范圍.

分析 (1)化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出f(x)的對稱軸與最小正周期;
(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象平移法則,得出函數(shù)g(x)的解析式,利用g(B)=0求出B的值,
再利用余弦定理和基本不等式求出b的取值范圍.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$(1+cos2x)-$\frac{1}{2}$
=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-1,
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的對稱軸為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$,k∈Z,周期為π;
(2)函數(shù)f(x)的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,
得函數(shù)y=sin(x-$\frac{π}{6}$)-1的圖象,
再向左平移$\frac{π}{3}$個單位,得函數(shù)y=sin(x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$)-1的圖象,
所以函數(shù)g(x)=sin(x+$\frac{π}{6}$)-1;
又△ABC中,a+c=6,g(B)=0,
所以sin(B+$\frac{π}{6}$)-1=0,
所以B+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,則B=$\frac{π}{3}$;
由余弦定理可知,
b2=a2+c2-2ac•cos$\frac{π}{3}$=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥36-3•${(\frac{a+c}{2})}^{2}$=9,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取“=”,所以b≥3;
又b<a+c=6,所以b的取值范圍是[3,6).

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)圖象平移、余弦定理和基本不等式的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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