Question

14．如圖，在四面體PABC中，平面PBC⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，且∠C=90°，PB=PC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，BP，BC，PA的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是EF，GH的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABC；
（Ⅱ）若PB=BC，求二面角P-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以G為原點(diǎn)，GE為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面ABC．
（Ⅱ）求出平面EFP的法向量和平面EFC的法向量，由此能求出二面角P-EF-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面PBC⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，且∠C=90°，PB=PC，
點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，BP，BC，PA的中點(diǎn)，
∴PG⊥平面ABC，EG⊥BC，
以G為原點(diǎn)，GE為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC=BC=2，PG=2t，則B（0，1，0），P（0，0，t），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{t}{2}$），
E（1，0，0），A（2，-1，0），H（1，-$\frac{1}{2}，\frac{t}{2}$），G（0，0，0），N（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，\frac{t}{4}$），M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{t}{4}$），
$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{1}{2}$，0），平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∵M(jìn)N?平面ABC，∴MN∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵PB=BC，∴設(shè)AC=BC=PB=PC=2，
P（0，0，$\sqrt{3}$），A（2，-1，0），B（0，1，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，-1，0），
$\overrightarrow{EP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EF}$=（-1，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EC}$=（-1，-1，0），
設(shè)平面EFP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，3，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面EFC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=-a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=-a+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角P-EF-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3-3+3}{\sqrt{21}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
∴二面角P-EF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．