Question

10．如圖所示的多面體是經(jīng)過正四棱柱底面頂點B作截面A₁BC₁D₁后形成的．已知AB=1，A₁A=C₁C=$\frac{1}{2}{D_1}$D，D₁B與底面ABCD所成的角為$\frac{π}{3}$，則這個多面體的體積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，連接BD，BD₁，可得∠${D}_{1}BD=\frac{π}{3}$，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=$\sqrt{2}$，在Rt△D₁DB中，解直角三角形求得DD₁，求出直角梯形ADD₁A₁的面積，然后由棱錐的體積公式求得答案．

解答 解：如圖，

連接BD，BD₁，則∠${D}_{1}BD=\frac{π}{3}$，
在底面正方形中，由AB=1，得BD=$\sqrt{2}$，
在Rt△D₁DB中，由BD=$\sqrt{2}$，∠${D}_{1}BD=\frac{π}{3}$，
求得${D}_{1}D=BD•tan\frac{π}{3}=\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
∴A₁A=C₁C=$\frac{1}{2}{D_1}$D=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則${S}_{AD{D}_{1}{A}_{1}}=\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{6}）×1=\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
∴多面體的體積為V=$2×\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{6}}{4}×1=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐及棱臺體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．