【題目】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若 , 試求f(x)在區(qū)間[﹣2,6]上的最值;

【答案】解:(1)令x=0,y=0,則f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.令y=﹣x,則f(0)=f(x)+f(﹣x),
∴f(x)=f(﹣x),即f(x)為奇函數(shù);
(2)任取x1 , x2∈R,且x1<x2
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,且x1<x2
∴f(x2﹣x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴f(x)為增函數(shù),
∴當(dāng)x=﹣2時(shí),函數(shù)有最小值,f(x)min=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2f(1)=﹣1.
當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)有最大值,f(x)max=f(6)=6f(1)=3
【解析】(1)在給出的等式中取x=y=0,求得f(0)=0,再取y=﹣x可證明f(x)是奇函數(shù);
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,借助于已知等式證明函數(shù)f(x)為增函數(shù),從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值;
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的奇偶性和指、對數(shù)不等式的解法對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;指數(shù)不等式的解法規(guī)律:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化;對數(shù)不等式的解法規(guī)律:根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中.

(1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得對于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,△BCD是正三角形,AB=AD=1,∠BAD=θ.
(Ⅰ)將四邊形ABCD的面積S表示成關(guān)于θ的函數(shù);
(Ⅱ)求S的最大值及此時(shí)θ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若,則當(dāng)時(shí),討論單調(diào)性;

(2)若,且當(dāng)時(shí),不等式在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,是等邊三角形,已知,

(1)設(shè)上的一點(diǎn),證明:平面平面;

(2)求四棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列為等比數(shù)列, ,公比,且成等差數(shù)列.

1求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2設(shè), ,求使的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】猜商品的價(jià)格游戲, 觀眾甲: 主持人:高了! 觀眾甲: 主持人:低了! 觀眾甲: 主持人:高了! 觀眾甲: 主持人:低了! 觀眾甲: 主持人:低了! 則此商品價(jià)格所在的區(qū)間是

A. B.

C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對給定的正數(shù),若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足:①內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②上的值域?yàn)?/span>,則稱區(qū)間級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A. 函數(shù))存在1級“理想?yún)^(qū)間”

B. 函數(shù))不存在2級“理想?yún)^(qū)間”

C. 函數(shù))存在3級“理想?yún)^(qū)間”

D. 函數(shù) 不存在4級“理想?yún)^(qū)間”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行,某一時(shí)刻,甲船在最前面的點(diǎn)處,乙船在中間點(diǎn)處,丙船在最后面的點(diǎn)處,且.一架無人機(jī)在空中的點(diǎn)處對它們進(jìn)行數(shù)據(jù)測量,在同一時(shí)刻測得, .(船只與無人機(jī)的大小及其它因素忽略不計(jì))

(1)求此時(shí)無人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比;

(2)若此時(shí)甲、乙兩船相距100米,求無人機(jī)到丙船的距離.(精確到1米)

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