【題目】設(shè)橢圓過點,且直線的左焦點.

1)求的方程;

2)設(shè)上的任一點,記動點的軌跡為,軸的負(fù)半軸、軸的正半軸分別交于點的短軸端點關(guān)于直線的對稱點分別為、,當(dāng)點在直線上運動時,求的最小值;

3)如圖,直線經(jīng)過的右焦點,并交兩點,且在直線上的射影依次為,當(dāng)轉(zhuǎn)動時,直線是否相交于定點?若是,求出定點的坐標(biāo),否則,請說明理由.

【答案】(1)(2)(3)當(dāng)轉(zhuǎn)動時,直線相交于定點

【解析】

1)由題設(shè)知a2,進一步求得c,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;

2)求出軌跡為Γ的方程,端點G、H的坐標(biāo),得到GH所在直線方程,設(shè)P的坐標(biāo),利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算把轉(zhuǎn)化為P的縱坐標(biāo)的二次函數(shù)求最值;

3)當(dāng)直線l斜率不存在時,直線lx軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AEBD相交FK的中點N,0),猜想,當(dāng)直線l的傾斜角變化時,AEBD相交于定點N,0).設(shè)出直線方程及Ax1y1),Bx2,y2),知D4,y1),E4,y2).當(dāng)直線l的傾斜角變化時,首先證直線AE過定點N,0),再證點N0)也在直線lBD上,可得當(dāng)lF轉(zhuǎn)動時,直線AEBD相交于定點(0).

解:(1)由已知得a2,在直線x5y+10中,取y0,得x=﹣1,可得c1

b2a2c23

∴橢圓C的方程為;

2)由C上的點,得,

∴Γ:,則G(﹣2,0),H0,1),

GH,即x2y+20

橢圓C的短軸兩端點分別為(0),(0),

兩點關(guān)于直線yx的對稱點分別為F1,0)、F20),

設(shè)Px0y0),則x02y0+20,

,,

的最小值為;

3)當(dāng)直線l斜率不存在時,直線lx軸,則ABED為矩形,

由對稱性知,AEBD相交FK的中點N,0),

猜想,當(dāng)直線l的傾斜角變化時,AEBD相交于定點N0).

證明:設(shè)直線l方程ykx1),

直線l交橢圓于Ax1,y1),Bx2,y2),則D4,y1),E4,y2),

聯(lián)立,得(3+4k2x28k2x+4k2120,

,,

當(dāng)直線l的傾斜角變化時,首先證直線AE過定點N,0),

AEx4),當(dāng)x時,y

0,

∴點N0)在直線lAE上,

同理可證,點N,0)也在直線lBD上.

∴當(dāng)lF轉(zhuǎn)動時,AEBD相交于定點(,0).

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