【題目】設直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點． （Ⅰ）證明：a2＞ ；
（Ⅱ）若 ，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．

【答案】證明：（Ⅰ）由y=k（x+1）（k≠0）得 ． 并代入橢圓方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0 ①
∵直線l與橢圓相交于兩個不同的點得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，
∴ ．
（Ⅱ）解：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由①，得 ，②
∵ ，而點C（﹣1，0），
∴（﹣1﹣x1 ， ﹣y1）=2（x2+1，y2），
得y1=﹣2y2代入②，得 ，③
∴△OAB的面積 = = ≤ = ，當且僅當k2=3，即 時取等號．
把k的值代入③可得 ，
將 及 這兩組值分別代入①，均可解出a2=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x2+y2=15
【解析】（1）把直線l的方程代入橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點可得△＞0，解出即可證明；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．利用根與系數(shù)的關系及向量相等得到y(tǒng)1 ， y2的關系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積 及基本不等式的性質(zhì)即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到a的值．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學生物興趣小組在學校生物園地種植了一批名貴樹苗，為了了解樹苗生長情況，從這批樹苗中隨機地測量了其中50棵樹苗的高度（單位：厘米）.把這些高度列成了如下的頻率分布表：

（1）在這批樹苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率大約是多少？

（2）這批樹苗的平均高度大約是多少？（用各組的中間值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）

（3）為了進一步獲得研究資料，若從組中移出一棵樹苗，從組中移出兩棵樹苗進行試驗研究，則組中的樹苗和組中的樹苗同時被移出的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸?shù)囊环皆夭粍�，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經(jīng)登上第3個臺階，當有任何一方登上第3個臺階時，游戲結(jié)束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為．

（1）求游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意的x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1成立．當x＞0時，f（x）＞1．
（1）若f（4）=5，求f（2）；
（2）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校隨機抽取100名學生調(diào)查寒假期間學生平均每天的學習時間，被調(diào)查的學生每天用于學習的時間介于1小時和11小時之間，按學生的學習時間分成5組：第一組[1，3），第二組[3，5），第三組[5，7），第四組[7，9），第五組[9，11]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求學習時間在[7，9）的學生人數(shù)；
（Ⅱ）現(xiàn)要從第三組、第四組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機抽取2人交流學習心得，求這2人中至少有1人的學習時間在第四組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（ ）
A.
B.y=x2
C.y=﹣x|x|
D.y=x﹣2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，則關于函數(shù)F（x）=f（f（x））的零點個數(shù)，正確的結(jié)論是 ． （寫出你認為正確的所有結(jié)論的序號）
①k=0時，F(xiàn)（x）恰有一個零點．②k＜0時，F(xiàn)（x）恰有2個零點．
③k＞0時，F(xiàn)（x）恰有3個零點．④k＞0時，F(xiàn)（x）恰有4個零點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著生活水平的提高，人們對空氣質(zhì)量的要求越來越高，某機構(gòu)為了解公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查人,并將調(diào)查情況進行整理后制成下表：

年齡（歲）

頻數(shù)

贊成人數(shù)

（1）世界聯(lián)合國衛(wèi)生組織規(guī)定: 歲為青年， 為中年，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表：

青年人

中年人

合計

不贊成

贊成

合計

（2）判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為贊成“車柄限行”與年齡有關？

附： ，其中

獨立檢驗臨界值表：

（3）若從年齡的被調(diào)查中各隨機選取人進行調(diào)查，設選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態(tài)度的人員為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=Asin（ωx+）（A，ω，是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論： ①最小正周期為π；
②將f（x）的圖象向左平移 個單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
③f（0）=1；
④ ；
⑤ ．
其中正確的是（ ）

A.①②③
B.②③④
C.①④⑤
D.②③⑤

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