Question

4．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，H為BC中點，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大��；
（Ⅲ）求四面體B-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC與BD交于G，則G為AC的中點．連接EG，GH，通過證明四邊形EFHG是平行四邊形，證明FH∥平面EDB；
（Ⅱ）在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線與k，可知∠FKB為二面角B-DE-C的一個平面角，然后設(shè)EF=1，在直角三角形中進行求解；
（Ⅲ）求出四面體B-DEF的高與底面面積，即可求解四面體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交于G，則G為AC的中點．連接EG，GH，
由于H為BC的中點，故GH∥$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}AB$，
又EF$∥\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}AB$，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∴FH∥平面EDB；
（Ⅱ）解：∵FH⊥平面ABCD，∴平面BFC⊥平面ABCD，
又AB⊥BC，∴AB⊥平面BFC，則AB⊥BF，則EF⊥FB，
又∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線與k，則
∠FKB為二面角B-DE-C的一個平面角，
∵EF=1，AB=2，∴FC=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{3}$，
又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，
∴sin∠EDC=sin∠KEF=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴FK=EFsin∠KEF=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
tan∠FKB=$\frac{BF}{FK}$=$\sqrt{3}$，
∴∠FKB=60°，
∴二面角B-DE-C為60°；
（Ⅲ）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
∴BF為四面體B-DEF的高，
又BC=AB=2，∴BF=FC=$\sqrt{2}$，S=$\frac{1}{2}$EF•FC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$，
四面體B-DEF的體積．V_B-DEF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理，幾何體的體積的求法，考查計算能力，是中檔題．