Question

13．設拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，過焦點F作y軸的垂線，交拋物線于A、B兩點，點M（0，-$\frac{p}{2}$），Q為拋物線上異于A、B的任意一點，經(jīng)過點Q作拋物線的切線，記為l，l與MA、MB分別交于D、E．
（1）判斷直線MA與拋物線的位置關系并證明；
（2）求$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△MDE}}$．

Answer 1

分析 （1）條件中給出M（0，-$\frac{p}{2}$）只需求出A，B兩點坐標，而A和B是拋物線上的點，進而用兩點式確定直線方程，可聯(lián)立方程，化簡得一元二次方程，求得△=0，即可證明直線與拋物線相切；
（2）S_△ABQ=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2p}$，求得D和E點坐標，求得丨DE丨，由點到直線的距離公式d=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$，S_△MDE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}$•$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{4}$，
即可求得$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△MDE}}$的值．

解答 解：（1）直線MA與拋物線相切，
證明：由y_A=y_B=$\frac{p}{2}$，可知：x_A=-p，x_B=p，
∴k_MA=-1，k_MB=1，
l_AM：y=-x-$\frac{p}{2}$，l_BM：y=x-$\frac{p}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=-x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，整理得：x²+2px+p²=0，
∴△=0，
∴直線AM與拋物線相切，同理，直線BM與拋物線相切；

（2）設Q（x₀，y₀），切線l：y=$\frac{{x}_{0}}{p}$x-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$，
S_△ABQ=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2p}$，l_AM：y=-x-$\frac{p}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{0}}{p}x-\frac{{x}_{0}^{2}}{{p}^{2}}}\\{y=-x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，D（$\frac{{x}_{0}-p}{2}$，$\frac{-{x}_{0}}{2}$），同理E（$\frac{{x}_{0}+p}{2}$，$\frac{{x}_{0}}{2}$），
丨DE丨=$\sqrt{{p}^{2}+{x}_{0}^{2}}$，M到直線DE的距離d=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$，
S_△MDE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}$•$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△MDE}}$=2．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．