Question

2．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在C₂：x²+（y-5）²=9外，且對C₁上任意一點M，M到直線y=-2的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±3）為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D．證明：當P在直線y=-4上運動時，四點A，B，C，D的橫坐標之積為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點M（x，y），由已知條件推導(dǎo)出|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-5）^{2}}$-3，由此能求出曲線C₁的方程．
（2）當點P在直線y=-4上運動時，設(shè)P（x₀，-4），切線方程為kx-y-kx₀-4=0，所以$（{{x}_{0}}^{2}-9）{k}^{2}+18{x}_{0}k+72=0$，設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=20y}\end{array}\right.$，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，設(shè)四點A、B、C、D的橫向聯(lián)合坐標分別是x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁x₂=20（k₁x₀+4），x₃x₄=20（k₂x₀+4），由此能證明四點A，B，C，D的橫坐標之積為定值．

解答 （1）解：設(shè)M的坐標為（x，y），由已知得|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-5）^{2}}$-3，
易知圓C₂上的點位于直線y=-2的上側(cè)．于是y+2＞0，所以$\sqrt{{x}^{2}+（y-5）^{2}}$=y+5，
化簡得曲線C₁的方程為x²=20y．
（2）證明：當點P在直線y=-4上運動時，設(shè)P（x₀，-4），
由題意知x₀≠±3，過P且于圓C₂相切的直線的斜率存在，
每條切線都與拋物線有兩個交點，
切線方程為y+4=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-4=0，
∴$\frac{|-5-k{x}_{0}-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
整理，得$（{{x}_{0}}^{2}-9）{k}^{2}+18{x}_{0}k+72=0$，①
設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程①的兩個實根，
∴k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，②
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=20y}\end{array}\right.$，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，③
設(shè)四點A、B、C、D的橫向聯(lián)合坐標分別是x₁，x₂，x₃，x₄，
則x₁，x₂是方程③的兩個實根，
∴x₁x₂=20（k₁x₀+4），④
同理，x₃x₄=20（k₂x₀+4），⑤
由②④⑤三式得：
x₁x₂x₃x₄=400（k₁x₀+4）（k₂x₀+4）
=400[k₁k₂x₀²+4x₀（k₁+k₂）+16]
=400×16=6400．
∴當點P在直線y=-4上運動時，四點A、B、C、D的橫坐標之積為定值6400．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查四點的橫坐標之積為定值的證明，解題時要認真審題，注意直線方程、韋達定理等知識點的合理運用．