Question

15．某高校自主招生考試依次為自薦材料審查、筆試、面試共三輪考核．規(guī)定只有前一輪考核通過才能進入下一輪的考核，否則將被淘汰；三輪考核都通過才算通過該校的自主招生考試．學(xué)生甲參加該校自主招生考試三輪考試通過的概率分別為$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，各輪考核通過與否相互獨立．學(xué)生乙參加該校自主招生考試三輪考試通過的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，且各輪考核通過與否相互獨立，甲乙兩人通過該校的自主招生考試與否互不影響．
（Ⅰ）求甲乙恰有一人通過該高校自主招生考試的概率；
（Ⅱ）甲所在中學(xué)為鼓勵學(xué)生參加自主招生考試，每通過一輪分別獎勵學(xué)生100元，200元，300元，記學(xué)生甲獲得獎勵的金額為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的概率，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可做出結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)學(xué)生甲得到教育基金的金額為X，X的次數(shù)的取值是0元，100元，300元，600元，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲通過該校自薦材料審核、筆試、面試三輪分別為事件A₁，A₂，A₃；通過高校自主招生考試為事件A，乙通過該校自薦材料審核、筆試、面試三輪分別為事件B₁，B₂，B₃；通過高校自主招生考試為事件B，則事件A₁，A₂，A₃相互獨立，事件B₁，B₂，B₃；相互獨立，事件A，B相互獨立．
P（A）=P（A₁，A₂，A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}$
P（B）=P（B₁B₂B₃）=P（B₁）P（B₂）P（B₃）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
設(shè)甲乙恰有一人通過該校自主招生考生為事件C，則C=A$\overline{B}$$+\overline{A}B$，事件$A\overline{B}$與A$\overline{B}$互斥，P（C）=P（A$\overline{B}$$+\overline{A}B$）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}B$）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{3}{5}×\frac{1}{4}=\frac{9}{20}$
（Ⅱ）隨機變量X的取值為0，100，300，600
P（X=0）=$\frac{1}{5}$，P（X=100）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{3}=\frac{4}{15}$，P（X=300）=$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{2}{15}$，P（X=600）=$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}$

X	0	100	300	600
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{2}{5}$

EX=$0×\frac{1}{5}+100×\frac{4}{15}+300×\frac{2}{15}$$+600×\frac{2}{5}=\frac{4600}{15}=\frac{920}{3}$

點評 考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．