Question

在各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，代入n=1，2，計(jì)算，可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，命題成立，即成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時，等式成立．

解答： 解：（1）S1=a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，得

a

2 1

=1，由a_n＞0，∴a₁=1．（1分）
S2=a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，得

a

2 2

+2a2-1=0，∴a2=

2

-1，（3分）
同理，求得a3=

3

-

2

．（5分）
（2）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)．（6分）
①n=1時，a1=

1

-

0

命題成立．（7分）
②假設(shè)n=k時，ak=

k

-

k-1

(k∈N*)（*）成立，
則n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)
把 （*）代入上式，化簡得，ak+12+2

k

ak+1-1=0，
∴ak+1=

k+1

-

k

（負(fù)舍），即n=k+1時，命題成立．
由①②得，an=

n

-

n-1

(n∈N*)．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于中檔題．