Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，由極值的定義確定b的值；（2）代入零點確定a與c的關(guān)系，求出取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時，f（x）取到極小值，即f′（0）=0．
∴b=0．
（2）解：由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是其中一個零點，則f（1）=-1+a+c=0，
∴c=1-a．
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的兩根為0，

2a

3

；
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在R上有三個零點，
∴

2a

3

＞1，即a＞

3

2

．
∴f（2）=3a-7＞-

5

2

．
故f（2）的取值范圍為（-

5

2

，+∞）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．