Question

已知函數f（x）=（x-a）²e^x，g（x）=x³-x²-3，其中a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求實數M的最大值；
（3）若對任意的s，t∈[0，2]，都有f（s）≥g（t），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）在P（1，f（1））處的切線方程，說明P是切點，先將點P代入f（x）得解析式求出f（2），求出切點坐標，再求出原函數導數，求出P處的導數，則利用點斜式可求出切線方程；
（2）首先g（x₁）與g（x₂）是兩個函數，因為存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，所以要求M的最大值，只需求g（x₁）_max-g（x₂）_min即可，實際上就是求函數y=g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值、最小值，借助單調性容易解決；
（3）這是一個恒成立問題，且是兩個函數，所以只需f（s）_min≥g（t）_max即可，由此構造關于a的不等式（組）即可．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x²e^x，f'（x）=e^x（x²+2x），f（1）=e，f'（x）=3e，
所以所求切線方程為y-e=3e（x-1），即y=3ex-2e．         
（2）g′(x)=3x(x-

2

3

)，x∈[0，2]．令g'（x）=0，得x₁=0，x2=

2

3

．
當x變化時，g'（x）與g（x）的變化情況如下：

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
g'（x）		-	0	+
g（x）	-3	↘	極小值	↗	1

所以[g（x）]_max=max{g（0），g（2）}=g（2）=1，[g(x)]min=g(

2

3

)=-

85

27

．
因為存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
所以M≤[g(x)]max-[g(x)]min=

112

27

．所以實數M的最大值為

112

27

．
（3）由（2）知，在[0，2]上，[g（x）]_max=g（2）=1，所以f（x）_min≥1，f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2）．
（�。┊攁≤0或a≥4時，在[0，2]上，f'（x）≥0，f（x）是單調增函數．
所以f(x)min=f(0)=a2≥1，解得a≤-1或a≥1．
所以a≤-1或a≥4．
（ⅱ）當0＜a＜2時，在[0，a]上，f'（x）≤0，f（x）是單調減函數；在[a，2]上，f'（x）≥0，f（x）是單調增函數．
所以f（x）_min=f（a）=0≥1，不成立．
（ⅲ）當2＜a＜4時，在[0，a]上，f'（x）≥0，f（x）是單調增函數；在[a，2]上，f'（x）≤0，f（x）是單調減函數．
所以f（0）=a²≥1且 f（2）=（2-a）²e²≥1，又2＜a＜4，可得2+

1

e

≤a＜4．
（ⅳ）當a=2時，在[0，2]上，f'（x）≤0，f（x）是單調減函數．f(x)min=f(2)=(2-a)2e2=0≥1，不成立．
綜上，實數a的取值范圍是(-∞，-1]∪[2+

1

e

，+∞)．

點評：本題主要是研究不等式有解、恒成立的問題，一般轉化為函數的最值問題，但此例第（2）（3）問涉及到兩個函數，此時要注意分別研究它們的最值，再構造不等式（組）求解．其中第（3）問涉及的討論主要是討論極值點與區(qū)間的關系，由此來確定函數在區(qū)間[0，2]上的單調性，進而求解．