Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e，長軸兩個頂點分別為A，B．若C上有一點P，使得∠APB=120°，則離心率e的范圍為$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 利用橢圓的對稱性，判斷P的位置，求出離心率，以及橢圓分離心率，推出結(jié)果．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e，長軸兩個頂點分別為A，B．若C上有一點P，使得∠APB=120°，由橢圓的對稱性可知P在橢圓的上頂點時，∠APB最大，
此時∠OPA=60°，$\frac{a}≥tan60°=\sqrt{3}$，可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≥\frac{2}{3}$，e=$\frac{c}{a}$$≥\frac{\sqrt{6}}{3}$，e∈（0，1），
∴離心率e的范圍為：$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

點評 本題考查三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．