【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)設(shè),點(diǎn)是曲線與的一個(gè)交點(diǎn),且這兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直,證明:存在唯一的實(shí)數(shù)滿足題意,且.
【答案】(1) ;(2)見解析。;
【解析】【試題分析】(1)求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)大于或等于零,然后分離參數(shù),利用恒成立可求得的取值范圍.(2)將兩條切線相互垂直轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)乘積為,結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)可求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)所滿足的一個(gè)等式,通過分類討論可得存在唯一實(shí)數(shù)滿足題意.
【試題解析】
(1)解:由題意知,所以,
由題意, ,即對恒成立,
又當(dāng)時(shí), ,所以.
(2)證明:因?yàn)?/span>, ,
所以,即.①
又點(diǎn)是曲線與的一個(gè)交點(diǎn),所以.②
由①②消去,得.
(ⅰ)當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>.所以,且,此與②式矛盾.
所以在上沒有適合題意.
(ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè), .
則,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在上至多有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?/span>, ,
且的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在有唯一零點(diǎn).
即只有唯一的,使得成立,且.
綜上所述,存在唯一的,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a為正實(shí)數(shù),且為常數(shù))
(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x∈(0, ),則函數(shù)f(x)=sinxtanx+cosxcotx的值域?yàn)椋?/span> )
A.[1,2)
B.[ ,+∞)
C.(1, ]
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93,下列說法正確的是( )
A.這種抽樣方法是一種分層抽樣
B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D.該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,且底面與側(cè)面垂直, , 分別為線段的中點(diǎn), , , ,且.
(1)證明: 平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù).
若無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
若有兩個(gè)相異零點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前北方空氣污染越來越嚴(yán)重,某大學(xué)組織學(xué)生參加環(huán)保知識競賽,從參加學(xué)生中抽取40名,將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如圖,若從成績是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選兩人,則他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在去年的足球甲聯(lián)賽上,一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1;二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1,全年失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.4,你認(rèn)為下列說法中正確的個(gè)數(shù)有( )
①平均來說一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好;②二隊(duì)比一隊(duì)防守技術(shù)水平更穩(wěn)定;③一隊(duì)防守有時(shí)表現(xiàn)很差,有時(shí)表現(xiàn)又非常好;④二隊(duì)很少不失球.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的半焦距為,左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,拋物線與橢圓交于兩點(diǎn),若四邊形是菱形,則橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
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