Question

【題目】設，函數．

若無零點，求實數k的取值范圍；

若有兩個相異零點，求證：．

Answer 1

【答案】1；2見解析.

【解析】【試題分析】(1)求出函數的定義域后對函數求導,對分類討論函數的單調區(qū)間,結合函數沒有零點,可求得的取值范圍.(2)設出兩個零點,代入函數表達式,將要證明的不等式轉化為證明，構造函數,利用導數求得的最小值大于零,由此證得原不等式成立.

【試題解析】

解：函數的定義域為，

若時，則是區(qū)間上的增函數，

，

，函數在區(qū)間有唯一零點；

若有唯一零點；

若，令，得，

在區(qū)間上， ，函數是增函數；

在區(qū)間上，，函數是減函數；

故在區(qū)間上，的極大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數k的取值范圍是；

證明：設的兩個相異零點為，設，

，

，

故欲證，只需證，

即，即證，

設，上式轉化為，

設，

，

在上單調遞增，

，

．