Question

2．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）證明：BD₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{B{C}_{1}}$與$\overrightarrow{AC}$夾角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BD₁⊥A₁D．
（Ⅱ）分別求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），利用向量法能求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$與$\overrightarrow{AC}$夾角．

解答 證明：（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則B（1，1，0），D₁（0，0，1），A₁（0，1，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=0-1+1=0，
∴BD₁⊥A₁D．
解：（Ⅱ）C₁（0，1，1），A（1，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
設$\overrightarrow{B{C}_{1}}$與$\overrightarrow{AC}$夾角為θ，
則cosθ=cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$與$\overrightarrow{AC}$夾角為60°．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查向量的夾角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．