Question

17．二次不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{1}{2}$}，則關(guān)于x的不等式cx²-bx+a＞0的解集為（-3，-2）．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式ax²+bx+c＞0的解集可得對(duì)應(yīng)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＜0；再利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式cx²+bx+a＜0，求解即可．

解答 解：∵不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{1}{2}$}，
∴$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＜0；
∴$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$=-$\frac{a}$，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$=$\frac{c}{a}$，
∴b=-$\frac{5}{6}$a，c=$\frac{1}{6}$a，
∴cx²-bx+a＞0化為$\frac{1}{6}$ax²+$\frac{5}{6}$ax+a＞0，
整理得x²+5x+6＜0，
即（x+2）（x+3）＜0，
解得-3＜x＜-2；
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集是（-3，-2）．
故答案為：（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了推理能力和計(jì)算能力，是綜合性題目．