Question

8．對(duì)于函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+1，給出下列命題：
①該函數(shù)必有2個(gè)極值；       ②該函數(shù)的極大值必大于1；
③該函數(shù)的極小值必小于1；   ④方程f（x）=0一定有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
則正確的命題序號(hào)為：①②③．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論參數(shù)a的不同取值討論極值的大�。�①導(dǎo)數(shù)的判別式很大于0，說(shuō)明有兩個(gè)極值．②因?yàn)閒（0）=1，兩個(gè)極值點(diǎn)一個(gè)大于零，一個(gè)小于0，所以函數(shù)的極小值必小于1，極大值必大于1，所以可判斷②③．④因?yàn)闃O小值的大小不確定，所以無(wú)法判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：①函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²+2ax-1．對(duì)應(yīng)的判別式△=4a²+12＞0，
說(shuō)明導(dǎo)數(shù)方程f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，即函數(shù)必有兩個(gè)極值點(diǎn)．所以①正確．
②因?yàn)榉匠蘤'（x）=0的兩根之和為-$\frac{1}{3}$＜0，
所以兩個(gè)根一個(gè)為x₁＜0，一個(gè)為x₂＞0，且在x₁處取得極大值，x₂處取得極小值．
在又f（0）=1，所以該函數(shù)的極大值必大于1，函數(shù)的極小值必小于1，即②③正確．
④因?yàn)闃O小值不確定，所以當(dāng)極小值小于0時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
當(dāng)極小值等于0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)極小值大于0時(shí)，
函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以④不正確．
所以正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，以及函數(shù)與方程問(wèn)題．考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．