Question

13．函數(shù)y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分圖象如圖所示，設(shè)P是圖象的最高點(diǎn)，A，B是圖象與x軸的交點(diǎn)，記∠APB=θ，則sin2θ的值是$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由題意，|AB|=2，P是圖象的最高點(diǎn)，故P是縱坐標(biāo)為1，設(shè)∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π-（α+β），過P作AB的垂線．即可求sinα，sinβ，cosα，cosβ，從而求sin2θ的值．

解答 解：由題意，函數(shù)y=sin（πx+φ），T=$\frac{2π}{π}=2$，∴|AB|=2，
P是圖象的最高點(diǎn)，故P是縱坐標(biāo)為1，設(shè)∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π-（α+β），過P作AB的垂線交于C，|AC|=$\frac{1}{4}T=\frac{1}{2}$，|AP|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，|PC|=1，
那么：sinα=$\frac{|PC|}{|AP|}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
|BC|=$\frac{3}{4}T=\frac{3}{2}$，|PB|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
那么：sinβ=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
則：sin2θ=2sinθcosθ=-2sin（α+β）cos（α+β）
=-2（sinαcosβ+cosαsinβ）（cosαcosβ-sinαsinβ）
=$\frac{16}{65}$，
故答案為：$\frac{16}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的運(yùn)用和計(jì)算能力，屬于中檔題．