Question

12．定義在R上的非常值函數(shù)f（x）滿足y=f（x+1）和y=f（x-1）都是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）一定是（　�。�

• A． 偶函數(shù)
• B． 奇函數(shù)
• C． 周期函數(shù)
• D． 以上結(jié)論都不正確

Answer 1

分析 由y=f（x+1）奇函數(shù)，即有f（1-x）=-f（1+x），由y=f（x-1）是奇函數(shù)，即為f（-x-1）=-f（x-1），將x換成x-1，x+1，再將-x換成x，x換成x+2，結(jié)合周期函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論．

解答 解：y=f（x+1）奇函數(shù)，
即有f（1-x）=-f（1+x），
將x換成x-1，即有f（2-x）=-f（x），①
y=f（x-1）是奇函數(shù)，
即為f（-x-1）=-f（x-1），
將x換成x+1，即有f（-x-2）=-f（x），②
則由①②可得，f（-x-2）=f（2-x），
即有f（x-2）=f（x+2），
將x換成x+2，可得f（x+4）=f（x），
即有函數(shù)f（x）是最小正周期為4的函數(shù)．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的定義，考查賦值法的運用，考查一定的推理和分析能力，屬于中檔題．