Question

4．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-x）=sinx，則f（$\frac{π}{12}$）=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 將x換成$\frac{π}{2}$-x，由函數(shù)方程法，可得f（x）的解析式，再由兩角差的正弦公式，代入由特殊角的函數(shù)值，即可得到．

解答 解：由f（x）+$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-x）=sinx，①
可得f（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx，②
由①②可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosx-sinx}{2}$=sin$\frac{π}{3}$cosx-cos$\frac{π}{3}$sinx
=sin（$\frac{π}{3}$-x），
則f（$\frac{π}{12}$）=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選B．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法：函數(shù)方程法，同時考查三角函數(shù)的求值，注意運用兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．