Question

求函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令t=sinx+cosx，可得sinxcosx=

t2-1

2

，代入已知函數(shù)，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答： 解：設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[0，1]，x∈[-

π

4

，

π

4

]，
平方可得t²=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴代入已知函數(shù)可得y=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=0時(shí)，y取最小值-

1

2

當(dāng)t=1時(shí)，y取最大值1
∴原函數(shù)在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的值域?yàn)閇-

1

2

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．