Question

已知（1+x+x²+x³）（x+

1

x4

）ⁿ的展開式中沒有常數項，則n的一個可能值為（　�。�

• A、11
• B、12
• C、13
• D、14

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：由題意可得可得（x+x^-4）ⁿ的展開式中沒有常數項，且沒有x^-1項，且沒有x^-2項，且沒有x^-3項．根據（x+x^-4）ⁿ的展開式的通項公式可得x的冪指數為n-5r，故n-5r=0無解，且n-5r=-1無解，且n-5r=-2無解，且n-5r=-3無解結合所給的選項，從而得出結論．

解答： 解：若（1+x+x²+x³）（x+

1

x4

）ⁿ的展開式中沒有常數項，可得（x+x^-3）ⁿ的展開式中沒有常數項，
且沒有x^-1項，且沒有x^-2項，且沒有x^-3項．
而（x+x^-4）ⁿ的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r n

•x^n-5r，
故n-5r=0無解，且n-5r=-1無解，且n-5r=-2無解，且n-5r=-3無解，
結合所給的選項可得，n=11，
故選：A．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．