【題目】已知f(x)= ,g(x)=ax3﹣x2﹣x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)的圖象C在x=﹣ 處的切線方程是y=
(1)若求a,b的值,并證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí),g(x)的圖象C上任意一點(diǎn)都在切線y= 上或在其下方;
(2)求證:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí),f(x)≥g(x).

【答案】
(1)解:g'(x)=3ax2﹣2x﹣1,

因?yàn)間(x)=ax3﹣x2﹣x+b的圖象C在 處的切線方程是 ,

所以 ,即 ,解得a=1.

因?yàn)閳D象C過點(diǎn) ,所以 ,解得

要證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí),g(x)的圖象C上任意一點(diǎn)都在切線 上或在其下方,

只要證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí),

,令 ,得 ,

驗(yàn)證得 ,

所以x∈(﹣∞,2], 成立,

所以當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí),g(x)的圖象C上任意一點(diǎn)都在切線 上或在其下方


(2)解:只要證明:x∈(﹣∞,2],

x∈(﹣∞,2],令 ,

,令 ,

當(dāng) 時(shí),h'(x)<0,當(dāng) 時(shí),h'(x)>0,所以 ,

所以x∈(﹣∞,2], 成立,

又由(1)得,x∈(﹣∞,2], ,

所以x∈(﹣∞,2], ,

所以x∈(﹣∞,2],f(x)≥g(x).


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù) ,求出a的值,圖象C過點(diǎn) ,求出b的值,問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí), ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為證明x∈(﹣∞,2], ,構(gòu)造函數(shù)g(x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;

2)記函數(shù),其中,若函數(shù)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)若對(duì)任意, ,且,均有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)滿足對(duì)任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在R上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí)總有 ,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,點(diǎn)E、F分別在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F= CC1

(1)求平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G為BC的中點(diǎn),A1G與平面AEF交于H,且設(shè) = ,求λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),以射線ox為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是 2sin2θ=1.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn , 若點(diǎn)An(n, )在函數(shù)f(x)=﹣x+c的圖象上運(yùn)動(dòng),其中c是與x無關(guān)的常數(shù),且a1=3(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bn=a ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某投資人欲將5百萬元獎(jiǎng)金投入甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品,根據(jù)銀行預(yù)測,甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品的收益與投入獎(jiǎng)金的關(guān)系式分別為,其中為常數(shù)且.設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入獎(jiǎng)金百萬元,其中

1)當(dāng)時(shí),如何進(jìn)行投資才能使得總收益最大;(總收益

2)銀行為了吸儲(chǔ),考慮到投資人的收益,無論投資人獎(jiǎng)金如何分配,要使得總收益不低于,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形中,

1)若為等邊三角形,且 的中點(diǎn),求

2)若, ,求

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案