Question

【題目】已知曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù).若過(guò)的動(dòng)直線與曲線相交于兩點(diǎn).

(1)判斷曲線的名稱并寫(xiě)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1) 曲線的名稱是橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，可得所求軌跡方程．（2）由直線與軸垂直和直線與軸垂直兩種特殊情況可得點(diǎn)的坐標(biāo)只可能是，所以只需證明直線斜率存在且時(shí)均有即可，然后利用代數(shù)法求解即可．

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離為，

依題意可知，即，

所以，

兩邊平方后化簡(jiǎn)得．

所以曲線的名稱是橢圓，它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知，

又因?yàn)?/span>，

則，

所以點(diǎn)必在軸上．

②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，則，由①可設(shè)，

由，解得，或．

則點(diǎn)的坐標(biāo)只可能是．

下面只需證明直線斜率存在且時(shí)均有即可．

由題意設(shè)直線的方程為，

由消去整理得,

其中恒成立．

設(shè)，

則，

所以．

設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，

因?yàn)橹本�的斜率，

同理得直線斜率，

所以，

因此，

所以三點(diǎn)共線，

故，

所以存在點(diǎn)滿足題意．