Question

【題目】已知定義在上的數(shù)滿足，當(dāng)時.若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是( )

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)f（2﹣x）＝f（2+x）可知函數(shù)f（x）關(guān)于x＝2對稱，利用當(dāng)時，畫出函數(shù)y＝f（x）的大致圖象．由題意轉(zhuǎn)化為y＝k（x﹣2）+e﹣1與f（x）有三個交點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)（2，e﹣1），再根據(jù)數(shù)形結(jié)合法可得k的取值范圍．

由題意，當(dāng)x≤2時，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．

①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，2]上單調(diào)遞增，

在x＝0處取得極小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．

又∵函數(shù)f（x）在R上滿足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝2對稱．

∴函數(shù)y＝f（x）的大致圖象如圖所示：

關(guān)于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可轉(zhuǎn)化為f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．

而一次函數(shù)y＝k（x﹣2）+e﹣1很明顯是恒過定點(diǎn)（2，e﹣1）．結(jié)合圖象，當(dāng)k＝0時，有兩個交點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)k＝e時，有兩個交點(diǎn)，其中一個是（1，﹣1）．此時y＝f（x）與y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．

∴當(dāng)0＜k＜e時，有三個交點(diǎn)．同理可得當(dāng)﹣e＜k＜0時，也有三個交點(diǎn)．

實數(shù)k的取值范圍為：（﹣e，0）∪（0，e）．

故選：D．