Question

過(guò)O極點(diǎn)引直線交圓ρ²+r²-2rρcosθ-a²=0（r＞a＞0）于P，Q兩點(diǎn)，在此直線上取一點(diǎn)R，使得

2

OR

=

1

OP

+

1

OQ

，求R點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程（r，a是常數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，設(shè)出直線的直角坐標(biāo)方程，代入圓的方程，利用韋達(dá)定理及條件求得 x_R=

r2-a2

r

，再把它化為極坐標(biāo)方程．

解答： 解：圓ρ²+r²-2rρcosθ-a²=0（r＞a＞0）化為直角坐標(biāo)方程為 （x-r）²+y²=a²，
表示以（r，0）為圓心、半徑等于a的圓．
設(shè)直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)為y=kx，代入圓的方程化簡(jiǎn)可得 （k²+1）x²-2rx+r²-a²=0，
利用韋達(dá)定理可得 x_P+x_Q=

2r

k2+1

，x_P•x_Q=

r2-a2

k2+1

．
再根據(jù)

2

OR

=

1

OP

+

1

OQ

，可得

2

xR

=

1

xP

+

1

xQ

=

xP+xQ

xP•xQ

=

2r

r2-a2

，
求得 x_R=

r2-a2

r

，再化為極坐標(biāo)方程為 ρcosθ=

r2-a2

r

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．