Question

11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為5π．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，根據(jù)它的幾何性質(zhì)得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD與E，DE=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
利用三角形判斷得出三角形BDC外接圓的半徑r=1，構(gòu)造長方體利用外接球的幾何性質(zhì)求解R即得出面積．

解答 解：根據(jù)三視圖得出幾何體為三棱錐，
AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD與E，DE=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

∴∠BDE=60°，BD=1，
∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，
∴根據(jù)余弦定理得出：BC=$\sqrt{3}$，
∵利用正弦定理得出：$\frac{BC}{sin120°}$=2r
∴三角形BDC外接圓的半徑r=1，直徑為2，
∵三棱錐的外接球的半徑R，d=AD=1，
利用球的幾何性質(zhì)得出：△BCD的外接圓的以DC為一邊的內(nèi)接矩形的邊長$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
構(gòu)造長方體棱長為：1，1，$\sqrt{3}$，可知長方體的外接球的直徑2R=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+3}$，
即R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴它的外接球的表面積為4×π×（　$\frac{\sqrt{5}}{2}$�。�²=5π
故答案為：5π．

點評 本題考查了空間幾何體的外接球的問題，充分利用幾何性質(zhì)，把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，考查了三角的定理的運用綜合性較強，屬于中檔題．