Question

3．討論f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$（a＞1）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，判出導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)，由此求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
由f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$（a＞1），得
f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{a（x+a）-ax}{（x+a）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}-\frac{{a}^{2}}{（x+a）^{2}}$
=$\frac{{x}^{2}+2ax+{a}^{2}-{a}^{2}x-{a}^{2}}{（x+1）（x+a）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（2a-{a}^{2}）x}{（x+1）（x+a）^{2}}$．
∵a＞1，
∴a=2時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）為（-1，+∞）上的增函數(shù)；
當(dāng)a＞2時(shí)，a²-2a＞0，
當(dāng)x∈（-1，0），（a²-2a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，a²-2a）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-1，0），（a²-2a，+∞）上為增函數(shù)，在（0，a²-2a）上為減函數(shù)；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，-1＜a²-2a＜0，
當(dāng)x∈（-1，a²-2a），（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（a²-2a，0）時(shí)，f′（x）＜0．∴
∴f（x）在（-1，a²-2a），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（a²-2a，0）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確分類是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．