Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+aex ．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣1沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x﹣1+aex．求導(dǎo)，f′（x）=1+aex．

由f′（1）=0，1+ae=0，解得：a=﹣ ，

∴a的值﹣

（2）解：當(dāng)a≥0，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在R上是增函數(shù)，無極值；

當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，則ex=﹣ ，x=ln（﹣ ），

x＜ln（﹣ ），f′（x）＞0；當(dāng)x＞ln（﹣ ），f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上單調(diào)遞增，在（ln（﹣ ），+∞）單調(diào)遞減，

f（x）在x=ln（﹣ ）處取極大值，且極大值f（ln（﹣ ））=﹣ln（﹣a）﹣2，無極小值

（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1+ex．

令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ex，

由題意可知：g（x）=0無實(shí)數(shù)解，

假設(shè)k＜1，此時(shí)g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

由函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理g（x）=0在R上至少有一解，

與方程g（x）=0，在R上沒有實(shí)數(shù)解矛盾，故k≥1，

由k=1時(shí)，g（x）=ex，可知方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解，

∴k的取值范圍[1，+∞）

【解析】（1）求導(dǎo)，由題意可知f′（1）=0，即可求得a的值；（2）由（1）可知：分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及極值的關(guān)系，即可求得f（x）的極值；（3）由題意可知g（x）=（1﹣k）x+ex=0無實(shí)數(shù)解，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．